今天读TAOCP过程中，对书中提到的交换求和次序公式加以关注：
$$
\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i} a_{ij} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=j}^{n} a_{ij}. \tag{1}
$$
书上给出了代数的证明方法，但一开始我不是很懂，便自己琢磨着证明. 我想到的方法是“几何法”——其实也并不是什么几何，只不过是将等式左右两边的加法按行列出来，最后再找规律罢了，完全是小学生水平. 于是我得到了以下的结果：
我们不妨设$n=4$，于是看到：
$$\left\{ \begin{array}{llll}
a_{11} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\
\end{array} \right\} =
\left\{ \begin{array}{llll}
a_{11} & a_{21} & a_{31} & a_{41} \\
& a_{22} & a_{32} & a_{42} \\
& & a_{33} & a_{43} \\
& & &a_{44}
\end{array} \right\}.$$
这样一来就可以发现，将等号左边顺时针旋转90°（当然，为了直观，我还进行了水平镜像翻转），就可以得到等号右边. 如果我们将求和过程看作是从上到下一行一行进行的，那么这可以很好地解释$(1)$的原理：先将$i$固定再变化$j$，和先将$j$固定再变化$i$，结果是一样的，都可以取遍所有的$(i,j)$.
这个时候我想到将其推而广之：再将这个行列旋转90°（并翻转），是否会得到一个新的代数结果？对于一些十分有天赋的数学天才，大概会认为无论写出多少这样的式子，最终还是得出一个相同的索引集，所以这是一项没有意义的研究. 可能在他们看来这无非是摆弄算术，根本算不上深刻的数学. 好吧，我自认我的智商和天赋远不如他们，恐怕也就只好摆弄摆弄算术. 我将行列旋转90°，得到了如下结果：
$$\left\{ \begin{array}{llll}
a_{11} & a_{21} & a_{31} & a_{41} \\
a_{22} & a_{32} & a_{42} \\
a_{33} & a_{43} \\
a_{44}
\end{array} \right\} =
\left\{ \begin{array}{llll}
a_{11} & a_{22} & a_{33} & a_{44} \\
a_{21} & a_{32} & a_{43} \\
a_{31} & a_{42} \\
a_{41}
\end{array} \right\}.$$
通过对等号右边找规律并归纳，注意到：
$$\begin{aligned}
\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=j}^{n} a_{ij} &= \sum_{i=1}^{n} a_{ii} + \sum_{i=2}^{n} a_{i(i-1)} + \sum_{i=3}^{n} a_{i(i-2)} + \dots + \sum_{i=n}^{n} a_{i1} \\
&= \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=j}^{n} a_{i(i-(j-1))} \\
&= \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=j}^{n} a_{i(i-j+1)}.
\end{aligned} \tag{2}$$
整合$(1)$和$(2)$，得到：
$$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i} a_{ij} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=j}^{n} a_{ij} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=j}^{n} a_{i(i-j+1)}. \tag{3}$$
这时我想到《数学分析新讲》中的一句话：“基于以上简单的观察，得到了很有用的结果. ”当然，我不敢自诩我的结果是有用的，但是我的观察确实足够简单.
这是一个双重求和的交换求和次序问题. 假设我们将其推广到$k$重求和，能否得到一个普遍性的式子？这可能是一个很有意思的话题. 我确实不知道这有什么用，毕竟我只是一枚蠢材. 后来我才发现，这实际上就是对一开始那个行列分别按行优先、列优先、对角线优先求和，没有什么秘密可言. 但是这是我人生中第一个独立发现的定理，虽然没什么技术含量，但我很高兴，我终于感受到做数学是一件如此令人满足的事情.
