对于一些天才式的人物，在注意力十分集中的情况下，对于等差、等比这两种常见数列，不难通过给定的首项、末项和公差或公比，看出其间的项数．然而对于我等天资平庸的鼠辈而言，则是不能幻想的．因此需要一套比较严谨的工具来帮助我们计算这个问题．为此我研究了如下的计数方法．
【定义1】对于一个数列${a_n}$，从$n$到$n \pm 1$那一项，称为1步．推而广之，取合理的$k \in \mathbb{N}$，则从$n$到$n\pm k$那一项，称为$k$步．其中，“合理的”$k$是指使得$n \pm k \in \mathbb{N}$成立的$k$．
【例1】$a_3$和$a_6$之间有3步．$\square$
【定义2】对于等差数列，其公差$d$称为步长．
如果我们想要求出项数，关键问题在于求出步数．
对于等差数列，现在的问题是，怎样通过给定的两项和公差，求出步数$k$．设给定的两项分别为$a_m$和$a_n$，步长即公差为$d$．若$d \neq 0$，注意到
$$k=|\frac{a_m-a_n}{d}|. $$
这个公式是对称的，使用时不需要关注首项和末项的区分问题．
【例2】已知某个等差数列的首项是2，末项是8，公差为2，求其总共的项数．
解：记$a_m=8$，$a_n=2$，步长即公差$d=2$．首先算出两项之间的步数
$$k=|\frac{a_m-a_n}{d}|=|\frac{8-2}{2}|=3. $$
于是项数
$$|m-n|+1=k+1=3+1=4. \square$$
接下来我们可以用类似的方式得出等比数列的计数方法．
【定义3】对于等比数列，其公比$q$称为步比．
注意到对于等比数列，给定两项$a_m$和$a_n$，步比即公比为$q$．若$|q|>0$且$|q| \neq 1$，注意到
$$k=|\log_{|q|}|\frac{a_m}{a_n}||. $$
对于等比数列，其公式中$\displaystyle q^n$是我们关心的幂．这里$\displaystyle \frac{a_m}{a_n}$，先把幂以外的因子除掉，剩余幂或幂的倒数．然后以步比或步比的倒数对其取对数，得到指数，即步数．
这个公式也是对称的．
其项数
$$|m-n|+1=k+1. $$
这里不给出例子了．
