后之览者，亦将有感于斯文

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等差等比数列的对称计数公式

线粒体
2025年5月21日
学

对于一些天才式的人物，在注意力十分集中的情况下，对于等差、等比这两种常见数列，不难通过给定的首项、末项和公差或公比，看出其间的项数．然而对于我等天资平庸的鼠辈而言，则是不能幻想的．因此需要一套比较严谨的工具来帮助我们计算这个问题．为此我研究了如下的计数方法．

【定义1】对于一个数列 ${a_n}$ ，从 $n$ 到 $n \pm 1$ 那一项，称为1步．推而广之，取合理的 $k \in \mathbb{N}$ ，则从 $n$ 到 $n\pm k$ 那一项，称为 $k$ 步．其中，“合理的” $k$ 是指使得 $n \pm k \in \mathbb{N}$ 成立的 $k$ ．

【例1】 $a_3$ 和 $a_6$ 之间有3步． $\square$

【定义2】对于等差数列，其公差 $d$ 称为步长．

如果我们想要求出项数，关键问题在于求出步数．

对于等差数列，现在的问题是，怎样通过给定的两项和公差，求出步数 $k$ ．设给定的两项分别为 $a_m$ 和 $a_n$ ，步长即公差为 $d$ ．若 $d \neq 0$ ，注意到

$k=|\frac{a_m-a_n}{d}|.$

这个公式是对称的，使用时不需要关注首项和末项的区分问题．

【例2】已知某个等差数列的首项是2，末项是8，公差为2，求其总共的项数．

解：记 $a_m=8$ ， $a_n=2$ ，步长即公差 $d=2$ ．首先算出两项之间的步数

$k=|\frac{a_m-a_n}{d}|=|\frac{8-2}{2}|=3.$

于是项数

$|m-n|+1=k+1=3+1=4. \square$

接下来我们可以用类似的方式得出等比数列的计数方法．

【定义3】对于等比数列，其公比 $q$ 称为步比．

注意到对于等比数列，给定两项 $a_m$ 和 $a_n$ ，步比即公比为 $q$ ．若 $|q|>0$ 且 $|q| \neq 1$ ，注意到

$k=|\log_{|q|}|\frac{a_m}{a_n}||.$

对于等比数列，其公式中 $\displaystyle q^n$ 是我们关心的幂．这里 $\displaystyle \frac{a_m}{a_n}$ ，先把幂以外的因子除掉，剩余幂或幂的倒数．然后以步比或步比的倒数对其取对数，得到指数，即步数．

这个公式也是对称的．

其项数

$|m-n|+1=k+1.$

这里不给出例子了．

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资深瞎折腾家

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