引言
诸君当中有不少人有考研的愿望，对于工科生的各位，考研当中数学是一个不可避免的“麻烦”，所以我希望通过不间断的在清水阁分享一些重要实用的数学结论或者经典的数学例题供各位参考，也算为诸君的考研尽一份绵薄之力，姑且称这个栏目为“每日一数”吧。
废话少说，我们开始，下述是本次证明的总条件：
设函数 $f(x)$ 连续，并且以 $T>0$ 为周期，即
$$f(x+T)=f(x).$$
命题一：$F(x)=\displaystyle\int_0^x f(t)dt$ 是以 $T$ 为周期的周期函数 $\Longleftrightarrow \displaystyle\int_0^T f(x)dx=0$
定义
$$F(x)=\int_0^x f(t)dt.$$
要判断 $F(x)$ 是否仍然以 $T$ 为周期，本质上就是判断
$$F(x+T)=F(x)$$
是否成立。
1. 从差值入手
考虑
$$F(x+T)-F(x).$$
由定积分的可加性，
$$F(x+T)-F(x)=\int_0^{x+T}f(t)dt-\int_0^x f(t)dt$$
因此
$$F(x+T)-F(x)=\int_x^{x+T}f(t)dt.$$
所以，问题转化为研究
$$\int_x^{x+T}f(t)dt.$$
2. 证明任意一个周期上的积分都相同
令
$$G(x)=\int_x^{x+T}f(t)dt.$$
对 $x$ 求导，根据变上限积分求导公式，
$$G’(x)=f(x+T)-f(x).$$
因为 $f(x)$ 是周期函数，满足
$$f(x+T)=f(x),$$
所以
$$G’(x)=0.$$
因此 $G(x)$ 是常数。
令 $x=0$，可得
$$G(x)=G(0)=\int_0^T f(t)dt.$$
于是
$$\int_x^{x+T}f(t)dt=\int_0^T f(t)dt.$$
代回原式，得到
$$F(x+T)-F(x)=\int_0^T f(t)dt.$$
这就是整个问题最关键的公式。
3. 证明充分性
如果
$$\int_0^T f(t)dt=0,$$
那么
$$F(x+T)-F(x)=0,$$
即
$$F(x+T)=F(x).$$
因此 $F(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数。
4. 证明必要性
反过来，如果 $F(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数，那么
$$F(x+T)=F(x),$$
所以
$$F(x+T)-F(x)=0.$$
而前面已经证明
$$F(x+T)-F(x)=\int_0^T f(t)dt,$$
因此必有
$$\int_0^T f(t)dt=0.$$
综上，
$$\boxed{F(x)=\int_0^x f(t)dt\text{ 是以 }T\text{ 为周期的周期函数}\iff\int_0^T f(x)dx=0}$$
5. 直观理解
每当 $x$ 增加一个周期 $T$ 时，原函数的增量为
$$F(x+T)-F(x)=\int_0^T f(t)dt.$$
说了这么多，这个命题到底说了个啥呢，实际上 $F(x)$ 就是个记录变化量的玩意儿。过了一个周期 $T$，如果总变化量为零，那就说明原函数经过这一个周期之后又回到了原来的函数值，于是就具有周期性。
反过来，如果 $F(x)$ 本身就是周期函数，那么经过一个周期以后必然满足
$$F(x+T)=F(x),$$
也就是说这一个周期内的总变化量必须为零，于是
$$\int_0^T f(t)dt=0.$$
所以本质一理解，那应用岂不是信手拈来！
命题二：周期函数的原函数是周期函数 $\Longleftrightarrow$ 它在一个周期上的积分为零
这一命题实际上是上一命题的直接推广。
设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数，即
$$F’(x)=f(x).$$
那么根据牛顿—莱布尼茨公式，
$$F(x+T)-F(x)=\int_x^{x+T}f(t)dt.$$
由周期函数在任意完整周期上的积分相同，
$$\int_x^{x+T}f(t)dt=\int_0^T f(t)dt.$$
因此
$$F(x+T)-F(x)=\int_0^T f(t)dt.$$
于是
$$F(x+T)=F(x)$$
当且仅当
$$\int_0^T f(t)dt=0.$$
所以有
$$\boxed{\text{周期函数 }f(x)\text{ 的原函数是周期函数}\iff\int_0^T f(x)dx=0}$$
这个结论与命题一本质相同，只不过命题一指定了一个特殊原函数
$$F(x)=\int_0^x f(t)dt,$$
而这一问讨论的是任意原函数。由于任意两个原函数只相差一个常数，而加减常数不会改变周期性，因此两种说法是完全一致的。
三、周期函数积分的三个常用性质
设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数。
性质 1：任意一个完整周期上的积分都相等
要证明
$$\boxed{\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^T f(x)dx}$$
令
$$G(a)=\int_a^{a+T}f(x)dx.$$
对 $a$ 求导，
$$G’(a)=f(a+T)-f(a).$$
由于 $f(x)$ 是周期函数，
$$f(a+T)=f(a),$$
所以
$$G’(a)=0.$$
于是 $G(a)$ 是常数。
取 $a=0$，得到
$$G(0)=\int_0^T f(x)dx.$$
因此对任意 $a$，均有
$$\boxed{\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^T f(x)dx}$$
这个结论也很好理解，周期函数那不就每个周期里的东西都一模一样，那你对一样的东西积分，结果当然相同。
性质 2：跨越 $n$ 个周期时，积分等于单周期积分的 $n$ 倍
要证明
$$\boxed{\int_a^{a+nT}f(x)dx=n\int_0^T f(x)dx}$$
其中 $n$ 为正整数。
把区间 $[a,a+nT]$ 分成 $n$ 个长度均为 $T$ 的小区间：
$$[a,a+T]$$
$$[a+T,a+2T]$$
一直到
$$[a+(n-1)T,a+nT].$$
利用定积分的可加性，
$$\int_a^{a+nT}f(x)dx=\int_a^{a+T}f(x)dx+\int_{a+T}^{a+2T}f(x)dx+\cdots+\int_{a+(n-1)T}^{a+nT}f(x)dx.$$
由性质 1，每个长度为 $T$ 的区间上的积分都等于
$$\int_0^T f(x)dx.$$
一共有 $n$ 项，所以
$$\boxed{\int_a^{a+nT}f(x)dx=n\int_0^T f(x)dx}$$
这个结论更是直观，每个周期的积分都一样，把好几个一样的东西做一个累加，问题本质不就回归到乘法的定义了嘛。
性质 3：长期平均值等于单周期平均值
证明
$$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^x f(t)dt}{x}=\frac{\int_0^T f(x)dx}{T}}$$
设
$$A=\int_0^T f(t)dt.$$
当 $x\to+\infty$ 时，可以写成
$$x=nT+r,\qquad 0\le r<T.$$
其中 $n$ 表示 $x$ 中包含了多少个完整周期，$r$ 是最后剩下的不足一个周期的部分。
于是
$$\int_0^x f(t)dt=\int_0^{nT}f(t)dt+\int_{nT}^{nT+r}f(t)dt.$$
由性质 2，
$$\int_0^{nT}f(t)dt=nA.$$
再处理第二项。令
$$u=t-nT,$$
由于 $f$ 的周期为 $T$，所以
$$f(u+nT)=f(u).$$
因此
$$\int_{nT}^{nT+r}f(t)dt=\int_0^r f(u)du.$$
所以
$$\int_0^x f(t)dt=nA+\int_0^r f(u)du.$$
两边除以 $x=nT+r$，得到
$$\frac{\int_0^x f(t)dt}{x}=\frac{nA}{nT+r}+\frac{\int_0^r f(u)du}{nT+r}.$$
分别研究两项。
第一项为
$$\frac{nA}{nT+r}=\frac{A}{T+\frac{r}{n}}.$$
由于
$$0\le r<T,$$
所以
$$\frac{r}{n}\to0.$$
因此
$$\frac{nA}{nT+r}\to\frac{A}{T}.$$
下面看第二项。
因为 $f(x)$ 在闭区间 $[0,T]$ 上连续，所以一定有界。设
$$|f(x)|\le M.$$
则
$$\left|\int_0^r f(u)du\right|\le\int_0^r|f(u)|du\le Mr\le MT.$$
所以
$$\left|\frac{\int_0^r f(u)du}{nT+r}\right|\le\frac{MT}{nT+r}.$$
当 $x\to+\infty$ 时，$n\to+\infty$，因此
$$\frac{MT}{nT+r}\to0.$$
从而
$$\frac{\int_0^r f(u)du}{nT+r}\to0.$$
最终得到
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^x f(t)dt}{x}=\frac{A}{T}.$$
即
$$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^x f(t)dt}{x}=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)dx}$$
这个命题就在说明：如果观察区间越来越长，那么周期函数在长区间上的平均积分最终会稳定为一个周期上的平均值。如何理解呢？其实很容易，假设现在只有两个半周期，我从 $0$ 到 $2.5T$ 的区间里求积分的平均值，此时多出来的 $0.5T$ 对结果的影响无疑是巨大的，结果相较于 $2T$ 求平均值肯定是误差极大的。
那我如果取 $20000000000.5T$，那 $0.5T$ 相对于整体来说微乎其微，结果想必和 $20000000000T$ 求平均值差距不大，从这个方面就很好理解。
四、三个命题之间的逻辑关系
这几条结论并不是彼此孤立的，它们实际上可以串成一条非常清晰的逻辑链：
$$\text{周期性}\Longrightarrow\text{任意完整周期积分相等}$$
进一步有
$$\text{任意完整周期积分相等}\Longrightarrow\text{$n$ 个周期积分等于单周期积分的 $n$ 倍}$$
再进一步得到
$$\text{长期平均值}=\text{单周期平均值}.$$
而原函数是否仍然周期，则取决于每经过一个周期后是否存在净增量：
$$F(x+T)-F(x)=\int_0^T f(t)dt.$$
因此，整个知识点中最值得记住的公式就是
$$\boxed{F(x+T)-F(x)=\int_0^T f(t)dt}$$
它直接告诉我们：
- 如果一个周期内积分为零，那么原函数每经过一个周期不会发生净变化，因此仍然可能保持周期性；
- 如果一个周期内积分不为零，那么原函数每经过一个周期都会增加或减少一个固定量，因此不可能成为周期函数。
五、结论
对于以 $T$ 为周期的连续函数 $f(x)$，有以下常用结论：
$$\boxed{\int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^T f(x)dx}$$
$$\boxed{\int_a^{a+nT}f(x)dx=n\int_0^T f(x)dx}$$
$$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^x f(t)dt}{x}=\frac{1}{T}\int_0^T f(x)dx}$$
以及原函数周期性的充要条件：
$$\boxed{F’(x)=f(x),\quad F(x+T)=F(x)\iff\int_0^T f(x)dx=0}$$
理解这些结论时，不必把它们当成彼此独立的公式来记忆。只要抓住“每经过一个完整周期，积分贡献完全相同”这一点，其余结论都可以自然推出。
我认为对待解决问题时应该设法做到：Make it simple and stupid！毕竟大道至简嘛！