本题考查变上限积分函数的有界性
题目
已知函数
$$f(x)=\frac{\int_0^x\lvert\sin t\rvert\mathrm{d}t}{x^a}$$
在 $(0,+\infty)$ 上有界，求 $a$ 的取值范围。
解：
显然：$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是连续的（也不必多次一举去看函数连续的定义，你直观一看就可以发现函数在$(0,+\infty)$上没有无定义的点，那他当然是连续的），所以只需分别考察两端点附近，即是 $x\to0^+$ 与 $x\to+\infty$ 时的有界性。
当 $x\to0^+$ 时，若 $a>0$，分子变为$$\lim_{x\to0^+}{\int_0^0\lvert\sin t\rvert\mathrm{d}t} = 0$$
所以由洛必达法则，对分子分母同时求导得到：
$$\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\lvert\sin x\rvert}{ax^{a-1}}.$$
由于充分小的正数 $x$ 满足 $\sin x>0$，且 $\sin x\sim x$（等价无穷小），所以
$$\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{x}{ax^{a-1}}=\lim_{x\to0^+}\frac{1}{ax^{a-2}}.$$
当 $0<a<2$ 时，该极限为 $0$；当 $a=2$ 时，该极限为 $1/2$；
当 $a>2$ 时，该极限为 $+\infty$，故而无界不可取。
若 $a\le0$，原式的分子趋于 $0$，分母等于 $1$ 或趋于 $+\infty$，故极限也为 $0$。
因此，零点附近有界的条件为
$$a\le2.$$
当 $x\to+\infty$ 时，有些同学可能就要犯迷糊了，诶我chovy，头顶上是个变上限积分那我咋整啊！但是聪明的你打眼一看，一定发现里面的 $\lvert\sin t\rvert$ 了，积分你不熟但是三角函数你认识呀！那性质张嘴就来啊！ $\lvert\sin t\rvert$ 的周期为 $\pi$，他还有界。分母是个无穷大，无穷大的倒数是无穷小，无穷小乘以有界是无穷小，你当机立断拍案而起洋洋洒洒挥笔落下在纸上画了一个 $0$，恭喜你，对了一半了，非常之敏锐。但是还没完，搞数学咱不能两眼一闭就是猜啊，当然如果你是拉马努金当我没说，拉马努金梦出来他还得验验真伪，所以我们还是要搞一下数学推理证明。但是你慧眼识珠一把看出变上限积分里是周期函数，于是你又想到呼某人昨天给你念叨了一句周期函数的积分平均值公式：
$$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^x f(t)dt}{x}=\frac{\int_0^T f(x)dx}{T}}$$
至此，啥也别说了，马上战略相持变战略反攻了，我们春风得意马蹄疾，一个公式甩出直捣黄龙，一锤定音！
马上可以得到：
$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^x\lvert\sin t\rvert,\mathrm{d}t}{x}=\frac{\int_0^\pi\lvert\sin t\rvert,\mathrm{d}t}{\pi}.$$
在 $[0,\pi]$ 上，$\sin t\ge0$，所以
$$\frac{\int_0^\pi\lvert\sin t\rvert,\mathrm{d}t}{\pi}=\frac{\int_0^\pi\sin t,\mathrm{d}t}{\pi}=\frac{[-\cos t]_0^\pi}{\pi}=\frac2\pi.$$
于是
$$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\int_0^x\lvert\sin t\rvert,\mathrm{d}t}{x}\cdot\frac1{x^{a-1}}\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac2{\pi x^{a-1}}.$$
当 $a>1$ 时，该极限为 $0$；当 $a=1$ 时，该极限为 $2/\pi$；当 $a<1$ 时，该极限为 $+\infty$。
因此，无穷远处有界的条件为
$$a-1\ge0,\qquad a\ge1.$$
综合两端条件，并结合 $f(x)$ 在中间任意有限闭区间上的连续性与有界性，得到
$$\boxed{a\in[1,2]}.$$
这样一道小题轻松拿下，所以见到周期函数套变上限积分，思路之一不就来了嘛！